dimensionless radial schrödinger equation


^ 2 =

0 i x



0000007769 00000 n

(



量子デコヒーレンスの出現は、別のアプローチ(エヴェレットの多世界解釈のような)を可能にした。それらではシュレーディンガー方程式が常に満たされ、波動関数の収縮はシュレーディンガー方程式から説明される。, 後述する時間に依存しないシュレーディンガー方程式を満たす状態ベクトル |ψ⟩ として、, シュレーディンガー方程式の具体的な形は、適当なポテンシャルを決定することで得られる。ポテンシャルは粒子に付随する基本的な変数の関数として与えられる。ただし一般にはポテンシャルの変数は物理量の演算子であり、通常の意味での関数とは異なる。ポテンシャルの変数となる物理量はたとえば粒子の位置であり、スピンである。ポテンシャルは、外界から及ぼされる相互作用と対象とする量子系の粒子間に働く相互作用の二つがある。古典論と同じく一体のポテンシャルは、多体間ポテンシャルを何らかの意味で平均化したものと考えることができる。例えば原子核および内殻電子から外殻電子に及ぼされるクーロン相互作用は、原子核や内殻電子の運動が外殻電子の運動にほとんど影響を受けないならば、原子核と内殻電子に関係するポテンシャルの変数は固定され、二体間ポテンシャルを一体のポテンシャルに置き換えることができる。多体間ポテンシャルの例として最も基本的なものは粒子間のクーロン相互作用およびスピン相互作用である。応用上では有限の井戸型ポテンシャルやレナード-ジョーンズ・ポテンシャルなども利用される。, 粒子系のハミルトニアンは前述のポテンシャルの他に、一般には粒子の運動エネルギーが加えられたものになる。具体的なハミルトニアンから波動関数を得るには、物理量の交換関係に従い物理量演算子の表現を決め、得られたハミルトニアンをシュレーディンガー方程式に適用し、その解を求める。, 例えば以下の方程式は、位置演算子を掛け算演算子とした場合の一体のポテンシャルに対する一粒子の運動を表す。, i



{

(



N 0



t

.

<>/Border[0 0 0]/P 3 0 R>> d |

) )

ψ



{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {U}}(t-t_{0})&=I+{\frac {1}{i\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\hat {H}}(t_{1})dt_{1}+\cdots \\&+\left({\frac {1}{i\hbar }}\right)^{n}{\frac {1}{n! (

) ∂ + )

^ t t


ψ

,



t/�v�%iO��6:vU��`hˑ9ng���餎�8�����~{��+2d}�ez8{�aaM���~iy�8,d������~������sb�W|pT3���S����؍v�7�L9.L�@�D|�f�bv.�Q

^ −

H

t

^

| ⟩ <>/Border[0 0 0]/P 3 0 R>>

1

0000011006 00000 n . )

− ∫ 0 t

) {\displaystyle \lim _{h\to 0}\left\|{\frac {|\psi (t+h)\rangle -|\psi (t)\rangle }{h}}-{\frac {d}{dt}}|\psi (t)\rangle \right\|=0\qquad \mathrm {for~all~~} t\in \mathbb {R} .

d



′ t

t



}, U

− ( 2

B��#)����)43 s����#X�3����̠WS��7U��u�vIal K;�4�Ɨ���M�l�����IVѵ���A}OS���+o2�k��)��ҤjԈ&�~����Z�'m _��Ab�OI�Ns'�� "��\�G���ߊ^�՜�g|��_��ߪ��T��h�n�րZ��z��7��%��z��d���&��:F:S5����AN-;0��Zr�i,H {�q�c����je�z,;��̙"OKs԰��}Pw���[���ؓ��: 0000003909 00000 n 7 0 obj (








t U

′ ) {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ({\boldsymbol {x}},t)=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V({\boldsymbol {x}},t)\right]\psi ({\boldsymbol {x}},t)}, m は物体の質量、V(x, t) はポテンシャルエネルギー、∇2 はラプラシアン、ψ(x, t) は位置表示の波動関数である。 ⟩

( 0000006332 00000 n 17 0 obj d t

[

^



0000004604 00000 n

0000008621 00000 n 非線型シュレーディンガー方程式(英: non-linear Schrödinger equation; NLS)は、通常のシュレーディンガー方程式におけるハミルトニアンにあたる部分が波動関数自身に依存する形の方程式である。シュレーディンガー方程式に非線型性が現れるのは例えば、複数の粒子が相互作用する系について、相互作用ポテンシャルを平均場近似することにより一粒子に対するポテンシャルに置き換えることによる。相互作用ポテンシャルが求めるべき波動関数自身に依存する一体ポテンシャルとなる場合、方程式は非線型となる(詳細は例えばハートリー=フォック方程式、グロス=ピタエフスキー方程式などを参照)。本項では主に線型なシュレーディンガー方程式について述べる。, シュレーディンガー描像では、量子系の時間的変化はその量子系の状態ベクトルや波動関数がその情報を持っていると考える。量子系の状態ベクトルおよび波動関数の時間的変化は、時間に依存するシュレーディンガー方程式によって記述される。状態ベクトル |ψ(t)⟩[注 2]に関するシュレーディンガー方程式は一般に以下のように表される。, i R ^ ∇

t ド・ブロイは後年、比例係数によって複素関数と対応付けられる実数値波動関数を提唱し、ド・ブロイ=ボーム理論を生み出した。, プランク定数をゼロに近似したとき、粒子の位置と運動量は正確にわかるようになる。これは古典的粒子と等しい。, time-dependent Schrödinger equation; TDSE, time-independent Schrödinger equation; TISE, 物理学の文献において作用素は演算子とも呼ばれる。以下では作用素の意味で演算子という語を用いる。, 古典論におけるハミルトニアンと区別する意味で、あるいは演算子であることを強調する意味で、ハミルトン演算子, en:List of quantum-mechanical systems with analytical solutions, http://books.google.com/books?id=w9Dz56myXm8C&pg=PA162, http://scitation.aip.org/content/aapt/journal/ajp/41/5/10.1119/1.1987321, “Recherches sur la théorie des quanta [On the Theory of Quanta]”, http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/04/70/78/PDF/tel-00006807.pdf, https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=シュレーディンガー方程式&oldid=80487257.





− }, U





{\displaystyle {\hat {U}}(t-t_{0})=\operatorname {T} \exp \left({\frac {1}{i\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\hat {H}}(t')dt'\right).

t

Radial Separation Lecture 23 Physics 342 Quantum Mechanics I Friday, March 26th, 2010 We begin our spherical solutions with the \simplest" possible case { zero potential.

はディラック定数[注 3]である。状態ベクトルの時間微分はヒルベルト空間の元を値に持つ実変数関数の(強)微分として導入される[2]。状態ベクトルの微分とは、以下に示すように、すべての時刻 t で状態ベクトル |ψ(t)⟩ の差分商との差のノルムが 0 に収束するような関数 d/dt|ψ(t)⟩ のことである。, lim

+ %����

<>/Border[0 0 0]/P 3 0 R>> 0 1 13 0 obj t



^ d

ψ d {\displaystyle {\hat {U}}(t-t_{0})=I+{\frac {1}{i\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\hat {H}}(t_{1}){\hat {U}}(t_{1}-t_{0})dt_{1}\,. |

0 .



∫ ℏ t

)

ℏ ⋯

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